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2019-2020学年最新冀教版八年级数学上册《二次根式》全章教学设计-优质课教案.docx

2019-2020学年最新冀教版八年级数学上册《二次根式》全章…

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简介:本文档为《2019-2020学年最新冀教版八年级数学上册《二次根式》全章教学设计-优质课教案docx》,可适用于初中教育领域

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第十五章 二次根式结合实际问题,了解二次根式、最简二次根式的概念,会辨别一个根式是否为最简二次根式掌握二次根式的性质,会根据它们熟练地进行二次根式的化简了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算,会将分母中含有一个二次根式(根号下仅限于数)的式子进行分母有理化借助二次根式的化简与运算,提高运算能力能运用类比和转化的数学思想讨论、探究二次根式的有关性质和运算法则能将二次根式的计算问题转化为利用二次根式的性质进行化简的问题,理解ldquo从特殊到一般rdquo,再ldquo从一般到特殊rdquo的探究事物规律的方法通过探究活动,培养学生探求知识的欲望,让学生体验成功的乐趣引导学生适时地运用ldquo逆向思维rdquo和ldquo类比思维rdquo提出问题与解决问题,以提高学生的数学基本素养()在第十四章已经学习了平方根、算术平方根的概念,还学习了借助于平方运算来求非负数的平方根、算术平方根本章是在此基础上,结合实际问题的需要,引入二次根式的概念,并以ldquo同一个非负数的算术平方根是唯一的rdquo为依据,得到二次根式的基本性质()二次根式的基本性质是二次根式化简的基本依据,用它可将任何一个二次根式化成与之等值的最简二次根式,教材既突出了化简的依据,又突出了化简的实施方法()二次根式基本性质的逆向应用,便可实施二次根式的乘除运算教材以学生操作为主,辅以例示解析的过程,引导学生掌握二次根式的乘除运算(包括简单的分母有理化)二次根式的加减运算,实际上是以二次根式的化简为前提,而后合并ldquo同类的最简二次根式rdquo教材借助于和ldquo整式加减的合并同类项rdquo的类比,启发学生自主地理解并掌握这类运算在二次根式的混合运算中,使学生认识到:与数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的混合运算也是先算乘除,后算加减,有括号时,先算括号内的()通过对本章的学习,可以更概括、更统一地认识ldquo式rdquo的意义和发展层次,可以更概括、更统一地认识ldquo式的化简rdquo与ldquo式的运算rdquo的依据和实施的共性,从而更好地提高运算能力【重点】二次根式的加减运算二次根式的乘除运算【难点】 二次根式的化简与计算注重概念的形成过程,让学生在概念形成的过程中,逐步理解所学的概念概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析,综合去掉非本质特征,保持本质属性而形成的概念的形成过程也是思维过程,加强概念形成过程的教学对提高学生思维水平是十分有必要的如二次根式的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识二次根式所表示的意义鼓励学生探索与交流教学中应当让学生进行充分的探索和交流,给学生充分的活动时间与空间,如最简二次根式是一个怎样的式子,教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动,从中感受最简二次根式应满足的条件再如二次根式的性质,在教学过程中应当让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,并鼓励学生用自己的语言清楚地表达注意运用类比的方法,使学生认识到新旧知识间的区别与联系在二次根式的加、减、乘、除运算的教学中,应注意通过类比使学生认识到新旧知识的区别与联系二次根式与以前学过的数、整式和分式一样,有关的化简与运算,相应的运算律、运算法则、运算顺序,乘法公式同样适用二次根式课时二次根式的乘除运算课时二次根式的加减运算课时二次根式的混合运算课时回顾与思考课时 二次根式了解二次根式、最简二次根式的概念了解,(),(其中age)的意义理解二次根式的性质体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂经历二次根式概念的形成过程,体会用类比的思想研究二次根式及其性质为学生创造操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑,激发学生应用数学的热情培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识【重点】 二次根式的概念与性质【难点】 二次根式基本性质的灵活应用第课时了解二次根式的概念和二次根式的非负性理解和掌握二次根式的简单性质,并能利用它们进行化简和计算经历观察、比较、总结的过程,培养学生的归纳能力感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识和对数学的探究能力通过探究学习,培养学生应用数学的热情培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识【重点】 二次根式的概念和简单性质【难点】 二次根式的简单性质【教师准备】 课件~【学生准备】 复习平方根与算术平方根的知识导入一:回顾:什么叫平方根什么叫算术平方根【课件】 填空()的平方根是    ()一个圆的面积为S,这个圆的半径是    ()若正方形的面积为a,则边长为    学生思考并回答提问:你能发现它们有什么共同的特征吗学生观察,总结共同特征并表述意见设计意图 唤起学生对于平方根和算术平方根的记忆,使学生认识到学习根式的必要性通过观察、归纳,为后面学习二次根式的概念及其基本性质做好铺垫导入二:已知一个正方形的面积为a,则正方形的边长是    提问:你认为所得的代数式有什么特点(教师鼓励学生用自己的语言总结出特征,鼓励学生大胆表述意见,然后作适当点评,板书本课课题)设计意图 让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子,一方面复习了旧知识,另一方面为接下来学习新课做准备通过问题引入,调动了学生的积极性导入三:在第十四章,我们学习了平方根及算术平方根,知道当age时,表示非负数a的算术平方根,plusmn表示非负数a的平方根,plusmn都表示非负数a的开平方,中ldquordquo表示一种运算,因此,(age)还有一个名字,你知道吗设计意图 通过复习平方根和算术平方根的表示方法和意义,引出的另一个名称,引起学生思考,激发学生的学习热情活动一:二次根式的概念  过渡语 我们已经学习了数的开平方,并用(age)表示非负数a的算术平方根现在,我们首先来学习二次根式的定义思路一【课件】 (教材第页一起探究)(),,,的算术平方根是怎样表示的()非负数m,pq,t的算术平方根又是怎样表示的学校要修建一个占地面积为Sm的圆形喷水池,它的半径应为多少米如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为am的环形绿化带,那么所成大圆的半径应为多少米引导学生分析得出:解:(),,, (),,解:,引导学生概括二次根式的定义:在上面的问题中,我们得到了,,,,,,,,等式子,它们分别表示某个非负数的算术平方根一般地,我们把形如(age)的式子叫做二次根式知识拓展 ()二次根式的被开方数a可能为整式,也可能为分式,因此要分清a所代表的式子类型()本身作分母时,要注意只能大于,不能等于()要注意,等,这时无论a取何值都有意义设计意图 让学生通过自己思考,得出表示这些数的一般形式,体会概念是由具体到抽象、由特殊到一般的过程形成的,进而给出二次根式的概念【课件】 判断下列各式是二次根式吗 ②  (mle) (x,y异号)   学生快速回答,共同分析设计意图 通过小练习及时检验学生对二次根式概念的理解和把握,二次根式根号内被开方数的取值范围一定要大于或等于思路二活动:(引导学生概括二次根式的定义:像,这样表示一个非负数的算术平方根的式子叫做二次根式)概念深化:提问:是不是二次根式呢议一议:二次根式表示什么意义此算术平方根的被开方数是什么被开方数必须满足什么条件的二次根式才有意义其中字母a要满足什么条件为什么【展示点评】经学生讨论后,让学生回答,并让其他的学生点评最后教师归纳:一个非负数的算术平方根才是二次根式,如果无法判断被开方数是非负数,那么这个式子就不能说是二次根式中的a可能为正,也可能为负,所以不能说这个式子是二次根式,中的a也可能为正,也可能为负,所以也不能说这个式子是二次根式【反思小结】教师总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:()必须有二次根号()被开方数不能小于设计意图 通过探究促使学生独立思考、合作探讨,并最终获得结论,有利于帮助学生从被动地接受知识到主动地探索新知,满足学生的多样化学习需求,通过学生自己归纳总结,让学生经历二次根式概念的形成过程,符合学生的认知规律,避免了概念教学的机械记忆,同时提高学生的概括总结能力,培养了学生思维的严谨性活动二:二次根式的简单性质  过渡语 了解了二次根式的概念,实际上(age)表示的就是我们以前学过的非负数a的算术平方根,下面我们来研究一下它有哪些简单性质思路一【课件】 (教材第页大家谈谈)小亮和小颖对二次根式ldquo(age)rdquo分别有如下的观点你认同小亮和小颖的观点吗请举例说明小亮的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根的意义,有ge小颖的观点:因为表示的是非负数a的算术平方根,所以根据算术平方根和被开方数的意义,有()=a学生讨论举例后得出小亮和小颖的观点都正确教师总结:()(age)是一个非负数,即具有双重非负性,一是被开方数是非负数,二是它的结果是非负数()()=a(age),即非负数a的算术平方根的平方等于a【课件】 做一做:=    =    =    =    =    教师点评:根据算术平方根的意义,我们可以得到:===想一想:根据上面的计算,你能得到什么结论学生讨论得出,一般地,=a(age)【课件】 (教材第页做一做)化简()() () () ()教师指名回答,公布答案解:()()= () ()= ()思路二我们知道非负数有算术平方根,所以根据算术平方根的意义,我们不难得到非负数的算术平方根还是非负数,即ge(age)性质:()=a(age)()观察:=,即()==,即()=helliphellip()提问:观察上述等式的两边,你得到什么启示()板书:当age时,=a设计意图 通过观察、思考、解答,培养学生自己发现问题、分析问题和解决问题的能力,使学生真正成为知识的主动建构者性质:=a(age)()提问:等于什么()举例:====helliphellip()发现:当age时,=a当a时,=a()归纳:比较()和的区别学生讨论,回答说明:关键抓住被开方数的非负性和(age)的非负性知识拓展 理解()和时应注意以下几点:()从a的取值范围理解:中的a为全体实数,而()中的a为非负数()从所得的结果理解:,而()=a,也就是说当age时,=()设计意图 通过比较、讨论、试做的教学方式,加深学生对两个性质的认识,同时,也关注了学生学习方式的个性化,做到既着眼于共同发展,又关注于个性差异活动三:例题讲解【课件】 化简() ()〔解析〕 =,,可以利用=a(age)化简解:()= ()==设计意图 尽管问题相对简单,但规范的解答还是非常有必要的,要养成学生学习一个新概念时稳扎稳打的态度,这样对于概念才会认识得更深更透二次根式的定义一般地,把形如(age)的式子叫做二次根式判断一个式子是不是二次根式,一定要紧扣定义,看所给的式子是否同时具备如下两个特征:()带有二次根号ldquordquo,即根指数是()被开方数不小于零只有同时满足上述两个特征,才是二次根式,如果不满足其中任何一个特征,就不是二次根式二次根式的基本性质()当age时,()=a()当age时,=a下列各式中,不是二次根式的是(  )ABCD解析:根据二次根式的定义,可知二次根式的被开方数是非负数,因为的被开方数小于零,故B错误故选B如果是二次根式,那么a应满足(  )AageBaneCa=Dage解析:∵是二次根式,thereage,解得age故选D若a为实数,则化简的结果是(  )AaBaCaD|a|解析:∵当a时,=|a|=a当age时,=|a|=a故选D下列四个等式:=②()=③()==其中正确的是(  )A①②B③④C②④D①③解析:=,正确②()=ne,不正确③()=,符合二次根式的意义,正确=ne,不正确①③正确故选D如果=x,那么x的取值范围是(  )AxleBxCxgeDx解析:根据二次根式的结果是非负数,可得不等式xge,解得xle故选A计算的结果是(  )ABCD解析:==故选A探究发现()完成下列填空:=    ,=    ,=    ,④=    ()利用()中发现的规律计算:①若x,则=    =    解析:根据即可得解答案:()① ② ③  ()①x ②pi当x取何值时,下列各式为二次根式() ()解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可得答案解:()由xge,得xle,所以当xle时,是二次根式()根据题意得x,得x,所以当x时,是二次根式判断下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,为什么,,,,(age),解析:二次根式要满足两个条件:()带有二次根号ldquordquo,即根指数是()被开方数不小于零解:,,(age),符合二次根式的形式,故是二次根式的根指数是,故不是二次根式的被开方数小于,无意义,故不是二次根式根据材料回答问题x为何值时,有意义解:根据题意得x(x)ge,由乘法法则得或解得xge或xle,即当xge或xle时,有意义体会解题思想后,求当x为何值时,有意义解析:根据题目信息进行解答解:要使有意义,则ge,所以或解得xge或x,即当xge或x时,有意义已知y=,求(xy)的值解析:先根据二次根式有意义的条件求出x的值,进而得出y的值,代入代数式进行计算即可解:∵与有意义,there解得x=,therey=,there()=第课时活动一:二次根式的概念活动二:二次根式的简单性质活动三:例题讲解例题一、教材作业【必做题】教材第页练习教材第页习题A组第,题【选做题】教材第页习题B组第,题二、课后作业【基础巩固】化简,正确的结果是(  )AplusmnBCD以上答案都不是下列各式中不是二次根式的是(  )ABCD下列各式:其中二次根式的个数有(  )A个B个C个D个已知是二次根式,则a的值可能是(  )ABCD要使二次根式有意义,则x的取值范围是(  )AxgeBxleCxgeDxle要使代数式有意义,则x的(  )A最大值是B最小值是C最大值是D最小值是【能力提升】实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,则a的化简结果为(  )AabBbCbDab下列各式哪些一定是二次根式() () () () ()当x是怎样的实数时,下列各式有意义() () () () () ()【拓展探究】化简已知实数a,b的对应点在数轴上的位置如图所示,化简【答案与解析】B(解析:=故选B)B(解柏:二次根式成立的条件是被开方数是非负数,而的被开方数是负数,所以不是二次根式故选B)B(解析:根据二次根式的定义,一般地,形如(age)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式故选B)C(解析:根据二次根式的被开方数是非负数,可知C选项正确故选C)B(解析:依题意得xge,解得xle故选B)A(解析:∵代数式有意义,therexge,解得xletherex的最大值为故选A)B(解析:由数轴可知ba,|b||a|,therea=|ab|a=aba=b故选B)解:()∵mge,therem,there是二次根式 ()∵age,there是二次根式 ()∵nge,therenle,there当n=时,才是二次根式,故不一定是二次根式 ()当age时是二次根式,当a时不是二次根式,即当age时是二次根式,当a时不是二次根式,故不一定是二次根式 ()当xyge时是二次根式,当xy时不是二次根式,即当xgey时是二次根式,当xy时不是二次根式,故不一定是二次根式解:()xge,解得xle (),解得x ()xge,x取全体实数 ()ge,解得xge ()(x)ge,x取全体实数 ()xge且xne,解得xge且xne解:原式=|a||a|①当a时,原式=aa=a②当leale时,原式=③当a时,原式=aa=a解:由数轴可知a,b,ba,故a,b,ab,原式=|a||b||ab|=(a)(b)(ab)=b在授课过程中,首先教师让学生回顾了算术平方根与平方根的概念,并且通过一些思考题,得出二次根式的定义通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的方法,通过ldquo大家谈谈rdquo让学生得出二次根式的两个性质,体会从特殊到一般的思维过程,进而掌握公式的一般推导方法本节课大部分时间都是引导学生边学边做,让学生经历了整个学习过程同时在学习过程中,引导学生自己得出结论及二次根式的两个性质,在学生举例讨论之后,让学生自己初步得出了结论整个教学过程,体现了ldquo从特殊到一般rdquoldquo由具体到抽象rdquo的过程在实际教学中,仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题,出现了前松后紧的现象,以致有深度的练习没时间完成,结束得也比较仓促在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习,在课堂教学中,对学生探索求知进行了引导,并且鼓励大家自己得出结论,但在互动方面做得还不够,大部分学生都是独立思考,很少与同学合作交流在今后教学中,应注意时间的掌控,合理地安排好每个环节的时间,事先应做好预设在教学中应多培养学生合作交流的意识,这样有助于他们今后的生活和学习练习(教材第页)解:() () () ()习题(教材第页)A组解:() () ()解:() () ()B组解:设镜框的宽为xcm,则长为xcm由题意得xmiddotx=,x=解得x=或x=(舍),所以x=答:镜框的宽为cm解:设大正方形的边长为xcm由题意得x=ab,取正值解得x=当a=,b=时,x=答:大正方形的边长为cm对于二次根式的定义可以从以下几个方面理解:()从形式上看,二次根式必须含ldquordquo()二次根式的被开方数a既可以表示一个数,也可以表示一个代数式,但必须保证有意义,即a若表示一个数,则a必须是非负数若a表示一个代数式,则这个代数式的值必须是非负数也就是说当age时,才是二次根式当a时,无意义对于二次根式的被开方数是非负数,是指整个代数式是非负数,而不是其中的字母表示的数为非负数为了求出使二次根式有意义的字母的取值范围,只需解不等式(组)即可 先化简a,然后再分别求出a=和a=时,原代数式的值解:a=a=a|a|当a=时,原式=||==当a=时,原式=||==解题归纳 本题考查了二次根式的性质,解决本题的关键是先化简,再求值 已知a,b,c均为实数,且a=,=,=c,化简〔解析〕 首先根据已知条件确定a,b,c的符号,从而确定ab,ac,cb的符号,然后根据二次根式的性质、绝对值的意义即可化简求解解:∵a=,there=a,thereale,∵=,thereab,则a,b同号,therea,b∵=c,therecgethereab,ac,cbthere原式=b(ab)(ca)(cb)=babcacb=b解题归纳 本题考查了二次根式的定义以及绝对值的意义,正确确定a,b,c的符号是关键 实数x在什么范围内取值时,下列各式才有意义() () ()〔解析〕 根据二次根式有意义的条件进行解答解:()若有意义,则xge,解得xge()若有意义,则x,解得x()若有意义,则解得lexle解题归纳 本题主要考查了二次根式有意义的条件,解答本题的关键是要使二次根式有意义,被开方数不能小于第课时理解和掌握积(商)的算术平方根的性质会利用积(商)的算术平方根的性质对根式进行化简理解最简二次根式的概念,并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式运用类比的方法,学习积(商)的算术平方根的性质采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解培养学生探索事物之间内在联系的学习习惯,使学生获得成功的喜悦【重点】积(商)的算术平方根的性质最简二次根式的概念【难点】 能利用积(商)的算术平方根的性质化简二次根式【教师准备】 课件~【学生准备】 二次根式的简单性质导入一:【课件】 一块正方形木板面积为cm,你能在不用计算器的情况下,以最快的速度求出正方形木板的边长吗设计意图 学生在已有经验的基础上直接开平方,发现直接开平方不是整数,从而无法确定具体数值,引出问题,为学习后面的内容创设情境导入二:教师提问:【课件】 ()什么是二次根式二次根式的被开方数需满足什么条件()我们学过二次根式的哪些简单性质学生回答设计意图 简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用,又为本节课性质的学习做好铺垫,进而让学生体会到知识之间的联系活动一:一起探究mdashmdash二次根式的性质思路一探究点:积的算术平方根问题:【课件】 计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律()与 ()与学生计算,得出()()中两式均相等问题:【课件】 猜想:与有什么关系组织学生计算,验证猜想:(分组尝试,讨论交流)方法一:事实上,根据积的乘方法则,有()=()times()=times,并且,所以是times的算术平方根,即方法二:因为()=()times()=times,()=times,且,,所以问题:【课件】 当age,bge时,对和middot的关系提出你的猜想,并说明理由指导学生仿照问题的证明过程加以证明解:因为当age,bge时,()=amiddotb,(middot)=()middot()=amiddotb,所以middot引导学生进行归纳得出:积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即middot(age,bge)知识拓展 积的算术平方根的性质可以推广到多个非负因数的情况如middotmiddotmiddot(age,bge,cge,dge)设计意图 尽管学生能够猜想出结果,但还是缺乏必要的说理,再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花,体会数学的严谨性与科学性探究点:商的算术平方根问题:【课件】 与是否相等与呢学生经过计算得出两个式子均相等问题:【课件】 对照刚才得到的结论,当age,b时,与有什么关系并说明理由学生不难猜想得到(age,b)引导学生根据刚才的证明过程加以证明解:因为当age,b时,,,所以 问题:对照积的算术平方根的性质,你能总结出商的算术平方根的性质吗引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(age,b)设计意图 培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力思路二问题:【课件】 计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律()=    =    ()=    =    ()=    =    ()=    =    师:出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律生:学生计算、观察、分组讨论,发现上述每组中的两个式子相等问题:【课件】 根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系,猜想你的结论并用计算器验证()=    =    ()=    =    ()=    =    ()=    =    学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等问题:【课件】 猜想:()当age,bge时,和middot有什么关系()当age,b时,和有什么关系请你说明理由引导学生小组讨论,利用算术平方根的简单性质进行证明设计意图 引导学生体会知识的形成过程,通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质活动二:观察与思考mdashmdash探究最简二次根式的概念  过渡语 刚才我们得到了积(商)的算术平方根的性质,下面请同学们根据刚才学到的性质完成下面的例题【课件】 化简() () () ()〔解析〕 ()()直接利用middot(age,bge)进行化简()()利用(age,b)进行化简解:()=()=()()【课件】 观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化,请思考:()化简前,被开方数是怎样的数()化简后,被开方数是怎样的数它们还含有能开得尽方的因数吗归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式说明:二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程提出问题:在,,,,,,中,哪些是最简二次根式为什么把ldquo提出问题rdquo中不是最简二次根式的化成最简二次根式指一名同学到黑板上板书,其他学生在练习本上完成出示ldquo做一做rdquo【课件】 (教材第页做一做)化简() () () ()解:()=()=()()设计意图 巩固积(商)的算术平方根的性质,通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力,强化训练,提高能力积的算术平方根积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积middot(age,bge)公式中的a,b既可以是数,也可以是代数式,但必须注意都应是非负的,这是公式成立的条件如:ne商的算术平方根商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商(或)(age,b)()公式中的条件是限制等号右边的,等号左边只要ge即可,而右边每一个式子(数)必须满足二次根式的条件,即age,b()该性质适用于二次根式的化简和计算最简二次根式一般地,如果一个二次根式满足①被开方数的因数是整数,因式是整式,②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式(middot扬州中考)下列二次根式中是最简二次根式的是(  )ABCD解析:A符合最简二次根式的定义,故本选项正确B原式=C原式=D被开方数含分母,不是最简二次根式,故本选项错误故选A能使等式成立的x的取值范围是(  )AxneBxgeCxDxge解析:本题需注意的是,被开方数为非负数,且分式的分母不能为,列不等式组解得x故选C下列计算正确的是(  )middot=middot=middot==A个B个C个D个解析:①和②根号下不能为负数,故①②错误③利用平方差公式进行因式分解,middot=,故③正确由③可知④错误故正确的只有个故选A设=a,=b,用含a,b的式子表示,下列表示正确的是(  )ABabCD解析:∵=a,=b,there故选A化简的结果是(  )ABCD解析:原式====故选C下列各式成立的是(  )ABCD解析:A被开方数是正数,然后利用商的算术平方根的性质计算,故选项正确B原式=,故选项错误C原式=,故选项错误D原式=,故选项错误故选A=,这个计算过程正确吗如果不正确,请改正解析:首先根据除法法则约掉负号,然后再计算开方即可解:计算过程错误,=在下列各式中,哪些是最简二次根式哪些不是对不是最简二次根式的进行化简() () () () ()解析:判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是解:()=,含有能开得尽方的因数,因此不是最简二次根式 (),被开方数中含有分母,因此不是最简二次根式 ()的被开方数为整数,被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此是最简二次根式 (),在二次根式的被开方数中,含有小数,不是最简二次根式 (),被开方数中含有分母,因此不是最简二次根式把下列二次根式化成最简二次根式() () () ()解:()= ()= () ()第课时活动一:一起探究mdashmdash二次根式的性质探究点:积的算术平方根探究点:商的算术平方根活动二:观察与思考mdashmdash探究最简二次根式的概念例题一、教材作业【必做题】教材第页练习第,题【选做题】教材第页习题第,题二、课后作业【基础巩固】二次根式,,,,,中,最简二次根式有(  )A个B个C个D个能使等式成立的条件是(  )AxgeBxleCxDx或x已知a=,b=,用含a,b的代数式表示,这个代数式是(  )AaBabCabDab下列各式中计算正确的是(  )AmiddotB=a(a)C==D=times=【能力提升】把下列各式化为最简二次根式() () ()() () ()已知=a,=b,用含a,b的式子表示已知x为奇数,且,求的值【拓展探究】是否存在这样的整数x,使它同时满足以下两个条件:middot的值是有理数若存在,求出x的值,若不存在,请说明理由【答案与解析】C(解析:利用最简二次根式的概念:()被开方数的因数是整数,因式是整式()被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,分析得出,,是最简二次根式故选C)C(解析:∵成立,therexge,x,解得x故选C)D(解析:=amiddotamiddotb=ab故选D)D(解析:A等式右边没意义,故本选项错误B=a(a),原式计算错误,故本选项错误C=,原式计算错误,故本选项错误D=times=,故本选项正确故选D)解:()= ()= () ()== ()= ()=解:∵=a,=b,there=ab解:∵,there解得lex又∵x为奇数,therex=,there=解:存在由middot,得解得lexle由是有理数,得x=本节的教学通过观察、比较、类比、猜想等多种方法,探究了积(商)的算术平方根的性质以及最简二次根式的定义,充分调动了学生的学习积极性,激发了学生的学习热情在教学中教师始终坚持ldquo模型mdashmdash类比mdashmdash总结mdashmdash强化rdquo这一过程,使学生充分认识到知识的形成过程,巩固和提高了学生的知识运用能力,达到了课堂教学的有效性学生对于积(商)的算术平方根的性质运用得不够好,书写格式不够规范,教师没有正确地进行指导和训练有的同学也没有正确地加以运用利用积(商)的算术平方根的性质进行化简时,注意格式的规范,让学生对照例子进行书写,并经过练习逐步熟练练习(教材第页)解:,是最简二次根式,,,不是最简二次根式=,,解:() () () ()习题(教材第页)解:()()()都不是最简二次根式()= () ()解:()= ()= () () () ()=积(商)的算术平方根积的算术平方根:(abge)middot(age,bge),即积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积此性质可以用来化简二次根式,即如果一个二次根式的被开方数含能开得尽方的因数或因式,那么可以利用性质middot(age,bge)及=a(age)将这些因数(式)开尽,从而将二次根式化简商的算术平方根:(或)(age,b),即商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商以上两个公式在运用时,所得结果要化成最简二次根式,既要保证被开方数的因数是整数,因式是整式,又要保证被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 二次根式的乘除运算掌握二次根式的乘除运算法则,会进行简单的二次根式的乘除运算培养学生的合情推理能力和分母有理化能力在学生原有知识的基础上,经历知识的产生过程,探索新知识体会用类比的思想研究二次根式的乘除法,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂通过本节课的学习,让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的【重点】 二次根式的乘除运算【难点】 二次根式的乘除运算【教师准备】 课件~【学生准备】 复习积(商)的算术平方根的性质导入一:【课件】 电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而收看到电视节目的区域就越广如果电视塔高hkm,电磁波的传播半径为rkm,那么它们之间存在近似关系r=,其中R是地球的半径,如果两个电视塔的高分别为h,h,那么它们传播的半径的比为,你能将这个式子化简吗学了本节后,就很容易解决了导入二:出示问题:【课件】 ()一个长方形的长为cm,宽为cm,求这个长方形的面积()如果一个长方形的面积S=cm,长a=cm,求宽b〔解析〕 ()利用长方形的面积公式可以得到S=(cm)()根据长方形的面积公式可得b=(cm)像,这样的结果能否继续化简,该怎样化简设计意图 两个情境导入都以日常生活中的实际问题为切入点,让学生感受到数学来源于生活,又应用于生活,从而提出问题,设下悬念,让学生带着问题进入到本节课的学习之中,为下面知识的学习做好铺垫活动一:二次根式的乘除法法则思路一问题:请同学们回忆二次根式的性质是如何得到的问题:【课件】 计算:()=    ,=    ()=    ,=    ()=    ,=    ()=    ,=    由计算结果,发现了什么规律(学生总结出上面式子的规律并填空)【课件】()   ()   ()   ()   对于下列各题,是否也有上面的规律呢请你猜想并利用计算器进行验证【课件】              通过刚才的观察、类比、计算,你能用字母表示二次根式的乘除法法则吗学生分组讨论,补充得出结论:()middot(age,bge)()(或)(age,b)知识拓展 如没有特殊说明,本章中的所有的字母都表示正数理解二次根式的除法法则应注意两点:()二次根式的除法法则中的被开方数的分母b不等于()运算时约分要彻底思路二问题:想一想积(商)的算术平方根的性质是什么学生回忆:()积的算术平方根等于各因数或因式的算术平方根的积,即middot(age,bge)()商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商,即(或)(age,b)问题:根据等式的对称性,把上述公式反过来,你能得到什么结论()middot(age,bge)()(或)(age,b)问题:你能用自己的语言叙述出上述公式吗归纳:()二次根式相乘,实际上就是把被开方数相乘,而根号不变用语言叙述为:两个算术平方根的积,等于积的算术平方根()二次根式相除,实际上就是把被开方数相除,而根号不变用语言叙述为:两个算术平方根的商,等于商的算术平方根问题:二次根式的乘(除)法法则与积(商)的算术平方根的性质有什么关系说明:教师引导、点拨,可提示与整式的乘法和因式分解的关系进行类比设计意图 学生在教师的指导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生用类比的方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括能力活动二:例题讲解【课件】 计算下列各式() () ()〔解析〕 直接利用二次根式乘法法则进行计算即可学生完成后,找同学对每道题进行讲解、分析,说明过程和思路,学生对于()()有不同的做法应予以鼓励和表扬解:() ()= ()=说明:运算的结果,应化为最简二次根式【课件】 计算下列各式() () ()〔解析〕 直接利用二次根式的除法法则进行计算,注意结果要化成最简二次根式学生完成后,集体讲评,重视解题方法的指导解:() () ()设计意图 通过例题让学生明确二次根式的乘除法法则,使学生能应用所学的知识解决问题,提高学生解答问题的能力活动三:分母有理化问题:【课件】 观察,,,的特点,有什么发现(分母都含有二次根式)你能把它们分母化成有理数吗学生分组讨论,推荐个人到黑板上板书教师总结:将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子,像这样,把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化对应练习:【课件】 把下列各式分母有理化:,,,让学生完成导入一中的问题教师点评:【课件】 (教材第页大家谈谈)请就小明和大刚分别计算,的做法给予评价,并谈谈你的想法小明的做法(先运算后化简)解:==大刚的做法(先化简后运算)解:==说明:小明和大刚的做法都是正确的在教学过程中,可先由学生独立完成,然后展开交流,让学生体会到不同的思考方法解答问题的过程可能是不同的,但结果是唯一的设计意图 通过观察,归纳出分母有理化的概念,通过对新课导入问题的解答让学生体会知识来源于生活又应用于生活,使预设的问题得以解决,同时,通过ldquo大家谈谈rdquo让学生体会解题过程的不唯一性知识点内容公式二次根式的乘法法则两个算术平方根的积,等于积的算术平方根middot(age,bge)二次根式的除法法则两个算术平方根的商,等于商的算术平方根(或)(age,b)分母有理化把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化应用二次根式的乘法法则可以将分母有理化(middot安徽中考)计算的结果是(  )ABCD解析:=故选B化简的结果是(  )ABCD解析:原式=故选A已知m=(),则有(  )AmBmCmDm解析:∵m=()=,=,=,therem故选C下列计算正确的是(  )A=times=B=times=C=D=解析:=(times)times()=times=故选B把化简后得(  )AbBCD解析:故选D下列计算正确的是(  )ABCDx=解析:A,故本选项错误B,正确C=,故本选项错误Dx=,故本选项错误故选B计算(写出解题过程)() () () ()解:()原式==()原式===()原式==()原式==化简与计算()middot(age)()amiddot(age,bge)解:()原式==a ()原式=a=ab设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b已知S=,b=,求a的值解:由题意得a=Sdivideb=,即a的值为 二次根式的乘除运算活动一:二次根式的乘除法法则活动二:例题讲解例例活动三:分母有理化一、教材作业【必做题】教材第页练习教材第~页习题A组第,题【选做题】教材第页习题B组第,题二、课后作业【基础巩固】一个长方形的长和宽分别是,,则它的面积是(  )ABCD已知middot的积是一个整数,则正整数a的最小值是(  )ABCD三角形的一边长是cm,这条边上的高是cm,则这个三角形的面积是(  )AcmBcmCcmDcm下列各式的计算结果是整数的是(  )ABCD如果middot,那么x的取值范围是(  )AxgeBxgeClexleDxle【能力提升】计算()middot(xge,y)()middot(age,bge)()middot(mge,nge)()计算() () ()()【拓展探究】设=a,=b,试用含a,b的代数式表示设长方形的长与宽分别为a,b,面积为S()已知a=cm,b=cm,求S的值()已知S=cm,b=cm,求a的值比较下列各式的大小(在横线上填ldquordquoldquordquo或ldquo=rdquo)()①    ②    ③    helliphellip()通过观察归纳,写出能反映这种规律的一般结论,并证明结论的正确性【答案与解析】B(解析:=times==故选B)A(解析:∵middot的积是一个整数,there是整数,故正整数a的最小值是故选A)B(解析:三角形的面积为=(cm)故选B)B(解析:A=,故此选项错误B=,故此选项正确C=,故此选项错误D=,故此选项错误故选B)B(解析:由题意得解得xge故选B)解:()middot==x ()middot()==ab ()middot==mn()==xy解:()原式= ()原式== ()原式= ()原式=解:∵=a,=b,there==ab解:()∵a=cm,b=cm,thereS==(cm) ()∵S=cm,b=cm,therea=(cm)解:()① ② ③= ()规律:abge证明如下:ab=ge,故abge本节内容是以前一节二次根式的性质为基础进行的,要求学生能熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行化简和计算在教学过程中,通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则,学生比较容易接受教师在对二次根式的乘除运算法则的学习

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