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彩霞飞舞
2019-09-07 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《复变函数 复数及其几何表示.pptppt》,可适用于高中教育领域

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-理学院数学系-《复变函数》《复变函数》主讲教师:赵景霞Email:zhaojingxiahrbeueducn研究对象复变函数(自变量为复数的函数)主要任务研究复变数之间的相互依赖关系具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数等。复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展它们之间有许多相似之处。但又有不同之处在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。复变函数的发展过程  复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义需要再一次扩大数系使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前由于对复数的概念及性质了解得不清楚用它们进行计算又得到一些矛盾所以在历史上长时期人们把复数看作不能接受的ldquo虚数rdquo。直到十八世纪JDrsquoAlembert()与LEuler()等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义澄清了复数的概念并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题复数才被人们广泛承认接受复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数的发展过程复变函数的发展过程年欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中就已经得到了它们。因此后来人们提到这两个方程把它们叫做ldquo达朗贝尔欧拉方程rdquo。到了十九世纪上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时作了更详细的研究所以这两个方程也被叫做ldquo柯西黎曼条件rdquo。  复变函数论的全面发展是在十九世纪就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支并且称为这个世纪的数学享受也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。复变函数的发展过程  二十世纪以来复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数的发展过程哈尔滨工程大学复变函数第一章复数及复平面sect复数及其几何表示学习要点掌握复数的意义与复数的表示方法掌握复数的代数运算熟练掌握复数的方根哈尔滨工程大学复变函数一、复数的概念复数z的实部Re(z)=x虚部Im(z)=y(realpart)(imaginarypart)*哈尔滨工程大学复变函数一般,任意两个复数不能比较大小。复数相等二、四则运算z=xiy与z=xiy的和、差、积和商为:zplusmnz=(xplusmnx)i(yplusmny)zz=(xiy)(xiy)=(xxyy)i(xyxy)*哈尔滨工程大学复变函数复数的运算满足加法交换律、结合律乘法交换律、结合律和分配律。哈尔滨工程大学复变函数共轭复数的性质定义若z=xiy,称z=xiy为z的共轭复数(conjugate)三、共轭复数哈尔滨工程大学复变函数例哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数解:哈尔滨工程大学复变函数例证明:*哈尔滨工程大学复变函数例证明:*哈尔滨工程大学复变函数四、复数的几何意义横坐标轴称为实轴纵坐标轴称为虚轴复平面一般称为z平面w平面等。哈尔滨工程大学复变函数我们可以得到两个重要的不等式*向量的运算和复数的运算是不一样的哈尔滨工程大学复变函数z=时幅角无意义。幅角无穷多:Argz=theta=thetakpikisinZ*向量的长度称为复数z=xiy的模或绝对值哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数三角表示法可以用复数的模与辐角来表示非零复数z指数表示法哈尔滨工程大学复变函数例例哈尔滨工程大学复变函数例解:*复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要哈尔滨工程大学复变函数例解:*哈尔滨工程大学复变函数例解:*哈尔滨工程大学复变函数练习:求下列复数的模与幅角主值:求下列复数的三角表示式与指数表示式哈尔滨工程大学复变函数解:哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数五、复数的乘积与商利用复数的三角表示我们可以更简单的表示复数的乘法与除法定理:*两个复数乘积的模等于它们的模相乘两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加哈尔滨工程大学复变函数对除法有将复数z按逆时针方向旋转一个角度Argz再将其伸缩到|z|倍。乘法的几何意义哈尔滨工程大学复变函数例解:哈尔滨工程大学复变函数例解:哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数例藏宝图从绞架走到橡树并记住走了多少步到了橡树向右转个直角再走这么多步在这里打个桩。某岛岛的北岸有一大片草地。草地上有一株橡树和一株松树还有一个绞架。回到绞架朝松树走同时记住所走的步数到了松树向左拐个直角再走这么多步在这里也打个桩。在两个桩中间挖就可以找到宝藏!问题是绞架年代久远烂掉了还能找到宝藏吗?哈尔滨工程大学复变函数第一根桩位置第二根桩位置*哈尔滨工程大学复变函数例解:哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数六、复数的乘幂与方根则有:mdashmdash棣摩弗(DeMoivre)公式哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数而k取其它整数时这些根又会重复出现。哈尔滨工程大学复变函数例练习例哈尔滨工程大学复变函数例*哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数哈尔滨工程大学复变函数例哈尔滨工程大学复变函数七、复球面与无穷远点球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面过O点作z平面的垂线与球面交于N点(称为北极或者球极)。*这样就建立球面上(不包括北极N)的点与复平面上的点一一对应哈尔滨工程大学复变函数从几何上可以看出:z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点而且若点z的模越大球面上相应的点则越靠近北极N。哈尔滨工程大学复变函数规定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义*****向量的运算和复数的运算是不一样的*向量的长度称为复数z=xiy的模或绝对值*复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要***两个复数乘积的模等于它们的模相乘两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加***这样就建立球面上(不包括北极N)的点与复平面上的点一一对应

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